Аналитическая Геометрия ч 2

Дата: 14 Июнь 2009 | Опубликовал: admin

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§ 1 Уравнения множества точек

В этой главе будем считать, что на плоскости или в пространстве за-дана ортонормированная система координат.
Определение. Уравнение
(1)
называется уравнением множества Φ точек плоскости, если координаты каждой точки удовлетворяют уравнению (1) и обратно, если каж-дая точка, координаты которой удовлетворяют (1), принадлежит Ф.
Например, уравнение является уравнением окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Уравнение
задает ту же окружность, так как ему удовлетворяют все её точки и толь-ко они. Уравнение же не будет уравнением этой окружности, т.к. ему удовлетворяют ещё и другие точки. Уравнение также не является уравнением рассматриваемой окружности, т.к. на ней есть точки (например, ), которые это-му уравнению не удовлетворяют.
Аналогично определяется уравнение пространственного множества точек.
Определения. Уравнение (или ) называется вектор-ным уравнением множества Ф, если радиус-вектор каждой точки удовлетворяет этому уравнению и обратно, если каждая точка, чей ради-ус-вектор удовлетворяет уравнению, принадлежит Ф.
Уравнение называется векторным параметриче-ским уравнением множества Ф, если и обрат-но, если такое, что .
Уравнения , , называются параметрическими уравнениями множества Ф, если и обратно, если такое, что , , .
Вывод. Для того чтобы составить уравнения какого-то множества то-чек, следует придумать условие, которому удовлетворяют все точки этого множества и только они, и записать это условие в векторном виде, либо в координатах.

§2 Основные виды уравнений плоскости

Общее уравнение плоскости

Определение. Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Если в пространстве заданы ненулевой вектор и точка , то в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через перпендикулярно вектору . Составим ее уравнение (см. рис.1).
Отсюда и получаем уравнения плоскости:
, (1′)
,
. (1)
Уравнения (1′) и (1) называются общими уравнениями плоскости в векторной форме.
Рис.1.
Запишем теперь эти условия в координатах. Пусть , , . Так как вектор ненулевой, то
. (2)
Из (1′) получаем:
. (3)
Если обозначить , то уравнение (3) примет вид:
. (4)
Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости.
Определение. Уравнение (4) с условием (2) называется уравнением первой степени.
Теорема. Если в пространстве задана ортонормированная система ко-ординат, то всякая плоскость может быть задана уравнением первой сте-пени. Обратно: всякое уравнение первой степени в ортонормированной системе координат в пространстве задает плоскость.
►Первое утверждение уже доказано. Докажем обратное. Пусть зада-но уравнение (4) с условием (2) и пусть, например, . Положим и , и составим уравнение плоскости Р, проходя-щей через точку перпендикулярно вектору , используя (3):
.
Полученное уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (4). Таким об-разом, плоскость Р и есть искомая.◄

Параметрические уравнения плоскости.
Пусть в пространстве заданы два неколлинеарных вектора и и точка . Тогда в пространстве существует единственная плоскость P, которая проходит через параллельно векторам и . Составим её уравнение (рис. 2).

Рис. 2.
- компланарны} - компланарны}.
Тогда по критерию компланарности
, (5′)
или
. (5)
Уравнения (5′) и (5) называются векторными параметрическими уравне-ниями плоскости.
Пусть теперь векторы и заданы своими координатами: , , и, как обычно, , . Переписав уравне-ние (5) в координатах, получаем параметрические уравнения плоскости:

.

Вспомним ещё один критерий компланарности: три вектора компланарны в том и только в том случае, когда их смешанное произведение равно нулю. Так как смешанное произведение в координатах вычисляется через определитель третьего порядка, получаем ещё одно уравнение плоскости:
. (6)

После преобразований из (6) получается общее уравнение плоскости.
Вывод: чтобы составить уравнение плоскости надо знать какую-нибудь её точку и либо нормальный вектор плоскости, либо два неколлинеарных вектора, которые этой плоскости параллельны.

§ 3. Основные виды уравнений прямой в пространстве

Определение. Направляющим вектором прямой называют любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.
Если в пространстве заданы точка
и вектор , то в пространстве существует
единственная прямая , проходящая через
точку параллельно вектору . Составим
ее уравнение.
Имеем (рис.1): . Так
как , на основании одного из кри-
териев коллинеарности получаем:
Рис. 1
. (1′)
Раскрыв скобки в (1′) и обозначив , получим ещё одно урав-нение:
. (1)
Уравнения (1) и (1′) называются векторными уравнениями прямой в пространстве. Ещё один критерий коллинеарности (Т- 1 § 1 главы 1) приводит нас к следующим уравнениям:
, (2′)
или
(2)
Уравнения (2) и (2′) называются векторными параметрическими урав-нениями прямой.
Предположим, что в заданной системе координат , , . Записав уравнение (2) в координатах, получаем парамет-рические уравнения прямой в пространстве:
.
И, наконец, на основании школьного критерия коллинеарности (про-порциональность координат) записываем уравнения:
,
которые называются каноническими уравнениями прямой в пространст-ве. Кроме того, прямую в пространстве можно задать в виде пересечения непараллельных плоскостей, т.е. в виде системы уравнений:
-
векторная форма записи, или
-
координатная форма записи.
Вывод: для того чтобы составить уравнения прямой в пространстве следует знать ее направляющий вектор и какую-либо точку, кроме того, прямую в пространстве можно задать пересечением двух непараллельных плоскостей.

§ 4. Основные виды уравнений прямой на плоскости

Параметрические и каноническое уравнения

Пусть на плоскости заданы точка и вектор , тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку параллельно вектору . Запишем её уравнения по аналогии с соот-ветствующими уравнениями прямой в пространстве (см. § 3):
, -
векторные параметрические уравнения;
-
параметрические уравнения прямой на плоскости;
-
каноническое уравнение прямой на плоскости. Следует помнить, что в этих уравнениях - координаты некоторой фиксированной точки на заданной прямой, а - координаты её направляющего вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Нормальным вектором прямой на плоскости называют любой ненулевой вектор этой плоскости, перпендикулярный заданной прямой.
Пусть на плоскости заданы точка и вектор . Тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку перпендикулярно вектору . Её уравнения записываются по анало-гии с уравнениями плоскости (см. § 2):
, , -
общие уравнения прямой на плоскости в векторной форме.
Если , , , , получаем следую-щие уравнения прямой на плоскости:
и
, (1)
причем . Уравнение (1) называется общим уравнением пря-мой на плоскости.
Теорема. Если на плоскости задана ортонормированная система ко-ординат, то всякая прямая на этой плоскости может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в ортонормированной системе координат на плоскости задает прямую.
Доказывается так же, как и аналогичная теорема для плоскости.

§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние
от точки до плоскости

Пусть на плоскости заданы прямая своим общим уравнением и некоторая точка . Найдем расстояние от точки до заданной прямой.
Пусть - некоторая фиксированная точка на прямой , - её нормальный вектор. Обозначим основание перпендикуляра, опущен-ного из точки на прямую и О, как обычно - начало координат. Обозначим также и - радиус-векторы точек и соответствен-но (рис 1). Тогда
.
Таким образом, расстояние от точки до прямой на плоскости численно равно модулю результата подстановки координат точки в общее уравнение этой прямой, деленному на длину нормального вектора.
Обозначим . По рисунку 1 легко показать справедливость следующего утверждения: всякая прямая на плоскости с уравнением делит плоскость на две полуплоскости так, что для всех точек одной полуплоскости результат под-
Рис. 1 становки координат точки в общее уравнение прямой есть число положительное , а для всех то-чек другой - отрицательное .
Пусть теперь в пространстве заданы плоскость своим общим урав-нением и точка .Точно так же, как и для прямой на плоскости, доказывается утверждение: расстояние от точ-ки до плоскости численно равно модулю результата подстановки коор-динат точки в общее уравнение плоскости, деленному на длину нормаль-ного вектора, т.е. справедлива формула:
.
Верно и следующее утверждение: любая плоскость делит пространст-во на два полупространства, так, что для всех точек одного полупро-странства результат подстановки координат точки в общее уравнение есть число положительное, а для всех точек другого - отрицательное.

Рубрика: лекции 1 курс

Прокомментировать