Аналитическая геометрия ч 3

Дата: 14 Июнь 2009 | Опубликовал: admin

ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Гипербола

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано положительное число a, меньшее c. Гиперболой называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения гиперболы, которое мы впоследствии назовём каноническим, выберем на плоскости ортонормированную систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы гиперболы, а ось - перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 1). Согласно определению, гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых
. (1)
Рис. 1.
Чтобы получить уравнение гиперболы остаётся только записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы гиперболы имеют следующие координаты: F1 (-c; 0); F2 (c; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются x и y. Таким образом, M(x; y). Так как
, ,
то уравнение (1) равносильно следующему:
, (2)
которое, в свою очередь, равносильно уравнению:
. (3)
Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы попытаемся их преобразовать к более простому виду. Для этого проведем следующую цепочку преобразований:
(3)

.
Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:
. (4′)
Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4′) примет вид:
. (4)
Мы доказали, что если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).
Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит гиперболе.

{M (x; y) удовлетворяет (4)}

. (5)
Аналогично получаем:
. (6)
Находим разность расстояний:
[(4) ] =

= .
Таким образом, (4) - уравнение гиперболы, которое и называется её каноническим уравнением.

Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению

1. Симметрия. Так как координаты x и y в уравнение (4) входят только в чётных степенях, то
{M1(x0; y0) Г} {M2(-x0; y0) Г, M3(-x0; -y0) Г; M4(x0; -y0) Г}.
Это означает, что гипербола (4) симметрична относительно координатных осей и начала координат. Оси симметрии гиперболы называются осями гиперболы, центр симметрии - её центром.
2. Пересечение с осями. Если y = 0, то (4) {x = a}. Значит, гипербола пересекает ось в точках A1 (-a; 0) и A2 = (a; 0), которые называются вершинами гиперболы. Если же x = 0, то (4) решений не имеет, т.е. ось гипербола не пересекает. Та ось гиперболы, которую она пересекает, называется её действительной осью, а та, которую не пересекает - мнимой. Числа a и b называются полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.
3. В силу симметрии гиперболы её достаточно нарисовать в первой координатной четверти, а затем продолжить рисунок по симметрии. Если , , то из (4) можно выразить y:
. (7)
Если x = a, то y = 0, если же , то и . Вычислим производную:
.
Если , то , поэтому гипербола в вершине имеет вертикальную касательную.
4. Асимптотами гиперболы (4) называются прямые . Рассмотрим ту из них, которая проходит в первой четверти:
. (8)
Сравнивая (7) и (8), видим, что , значит, гипербола расположена ниже своей асимптоты. Кроме того, ели М - точка гиперболы, Р - точка её асимптоты с такой же первой координатой, - расстояние от М до гиперболы (рис.2), то

Рис. 2.
.
Следовательно, при неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая её.
Теперь можно приступить к рисованию. По обе стороны от начала координат откладываем на действительной оси действительные полуоси, а на мнимой - мнимые, и рисуем прямоугольник, стороны которого проходят через полученные точки параллельно осям координат. Точки пересечения прямоугольника с действительной осью - это вершины гиперболы. Рисуем гиперболу сначала в первой четверти, начиная от вершины и неограниченно приближая её к асимптоте, а затем продолжаем по симметрии в остальные координатные четверти (рис. 3).

Рис. 3.

В заключение параграфа отметим, что уравнение задаёт гиперболу, действительной осью которой является ось , а школьное уравнение при - это уравнение гиперболы с перпендикулярными асимптотами, составленное относительно её асимптот.
§ 2. Эллипс

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1 и F2, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2а.
Упражнение. По аналогии с выводом канонического уравнения гиперболы получите каноническое уравнение эллипса
, (1)
где (не забывайте про обратную часть!).

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Из (1) вытекает, что если точка M(x; y) принадлежит эллипсу, то , т.е. эллипс полностью лежит внутри этого прямоугольника.
2. Так же как и гипербола, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, центр симметрии - его центром.
3. Если y = 0, то из (1) следует, что x = a, если же x = 0, то y = b. Таким образом, эллипс пересекает обе координатные оси: ось в точках A1(-a; 0), A2(a; 0) (они называются вершинами эллипса), а ось - в точках B1(0; -b), B2(0; b). Числа а и b называются полуосями эллипса, большей и меньшей соответственно.
4. В силу симметрии эллипса его также можно вначале нарисовать только в первой четверти, а затем продолжить по симметрии. Если , то из (1) получаем: . Найдем производную:
.
при , поэтому
функция убывает на отрезке
Рис. 1. . Так как и , то в точке пересечения эллипса с осью он имеет горизонтальную касательную, а в вершине - вертикальную. Так же, как и у гиперболы, фокусы эллипса находятся в точках F1 (-c; 0) F2 (c; 0). Теперь уже можно эллипс изобразить (см. рис. 1).
Замечание. Уравнение (1) задаёт эллипс, фокусы которого лежат на оси абсцисс при , и лежат на оси ординат при . Если же , то (1) - уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. В этом случае c = 0. Таким образом, окружность - это частный случай эллипса с совпадающими фокусами.

Параметрические уравнения эллипса

Пусть задан эллипс своим каноническим уравнением (1), где . Построим две окружности радиусами и соответственно с центрами в начале координат. Из начала координат проведем луч под углом к положительному направлению оси , и обозначим А и В точки его пересечения соответственно с большей и меньшей окружностями. Через точку А
Рис. 2. проведём вертикальную прямую, через В - горизонтальную, их пересечение обозначим М. Кроме того, обозначим K и N основания перпендикуляров, опущенных на ось соответственно из точек А и В (рис.2).
Если точка M имеет координаты (x; y), то по рис. 2 видно, что
, .
Координаты точки M удовлетворяет (1), значит, она принадлежит эллипсу. Очевидно, если изменяется в пределах от 0 до 2 , то мы получим все точки эллипса. Отсюда вытекает один из способов построения точек эллипса. Кроме того, мы вывели его параметрические уравнения:
.

§ 3. Парабола

Определение. Пусть на плоскости заданы прямая  и точка F на расстоянии p от неё. Параболой называется множество всех точек той же плоскости, для каждой из которых расстояние до точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до прямой , называемой её директрисой.
Вывод канонического уравнения

Выберем на плоскости ортонормированную систему координат следующим образом: ось направим через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от неё, ось проведем посредине между фокусом и директрисой параллельно последней. Если - произвольная точка параболы, то определение параболы формально запишется
Рис. 1. в виде равенства:
. (1)
С учётом того, что в выбранной системе координат , , , получаем:

(1)
Отсюда и вытекает уравнение параболы

, (2)

называемое каноническим, а число p в этом уравнении (расстояние от фокуса до директрисы) носит название фокального параметра. Парабола с уравнением (2) отличается от школьной только тем, что в ней переменные и поменялись ролями. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на исследовании её формы, а как она выглядит, посмотрите на рис. 2.

§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

Определения. Эксцентриситетом гиперболы называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к её действительной полуоси.
Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса и его большей полуоси.
Директрисами гиперболы (эллипса) называются прямые, перпендикулярные её действительной (большей) оси и отстоящие от центра на расстоянии, равном отношению действительной (большей) полуоси к эксцентриситету.

, (1)
, (1I)

, a > b (2)
, a < b, (2I)

,
,

уравнения директрис: .
уравнения директрис: .

Рассмотрим гиперболу (1). Для неё , т.к. . Вспомнив, что , получаем: . Исследуем, как меняется форма гиперболы в зависимости от её эксцентриситета. Зафиксируем полуось . Если , то , т.е. гипербола будет очень узкой. С ростом растёт и , т.е. ветви гиперболы расширяются (см. рис. 1). Если же , то и , т.е. гипербола по внешнему виду приближается к паре параллельных прямых.
Рассмотрим теперь эллипс (2). Для него , т.к. . Для эллипса (2) , поэтому . Исследуем, как меняется форма эллипса в зависимости от его эксцентриситета. Опять зафиксируем полуось . При получаем , и эллипс вырождается в окружность. С ростом полуось уменьшается, эллипс «худеет», а если , то , т.е. эллипс и вовсе стремится превратиться в отрезок (рис 2).
Рис. 2.

Теперь вернемся к директрисам. Так как для гиперболы (1) , а для эллипса (2) , то для гиперболы , а для эллипса . Это значит, что как для гиперболы, так и для эллипса директрисы не пересекаются этой кривой. Кроме того, директриса и соответствующий ей фокус отделены кривой друг от друга (рис. 3 и 4).

Рис. 3. Рис. 4.

Теорема (основное свойство эллипса и гиперболы по отношению к директрисам). Для всех точек гиперболы (эллипса) отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть число постоянное, равное эксцентриситету гиперболы (эллипса). И обратно: если для какой-либо точки плоскости отношение расстояния до фокуса заданной гиперболы (эллипса) к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету заданной гиперболы (эллипса), то эта точка принадлежит гиперболе (эллипсу).
►Докажем утверждение для левого фокуса и левой директрисы гиперболы (1) (в остальных случаях вы его докажете самостоятельно в качестве упражнения).
На рис. 5 точки имеют следующие координаты: ,
Рис. 5. , .
Тогда
[§1, (5)] = ;
.
Из этих двух равенств и получаем:
.
Докажем обратное утверждение. Пусть для некоторой точки плоскости справедливо соотношение:
. (3)
Так как , а , то
(3)
.
Учитывая, что , из последнего уравнения получаем . Таким образом, точка удовлетворяет уравнению заданной гиперболы. ◄
На основании доказанной теоремы мы можем сформулировать общее определение эллипса, гиперболы и параболы.
Определение. Гиперболой (эллипсом, параболой) называется множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки к расстоянию до заданной прямой в этой плоскости есть число постоянное, равное , причём  > 1 ( < 1,  = 1).

§ 5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Полярная система координат

Выберем на плоскости произвольную точку О, которую назовём полюсом, и проведём луч с началом в этой точке, который назовём полярной осью. Каждой точке плоскости поставим в соответствие упорядоченную пару чисел , где - расстояние от точки до полюса, а - угол между полярной осью и радиус-вектором точки (рис.1). Получим соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Если
Рис. 1. , а или , то это соответствие будет взаимно однозначным на плоскости с выколотой точкой (полюсом).

Вывод полярных уравнений

Выберем одну из трёх кривых - эллипс, параболу или одну из ветвей гиперболы и обозначим её . Полярную систему координат построим следующим образом: полюс поместим в фокус (для гиперболы берём фокус, соответствующий выбранной ветви), а полярную ось проведём перпендикулярно соответствующей этому фокусу директрисе в направлении от неё. Расстояние от фокуса до директрисы назовём фокальным
Рис.2. параметром кривой и обозначим
его p. Тогда (рис. 2): , ;
[Т § 4] ,
откуда получаем уравнение
, (1)
которое и называется полярным. Это уравнение задаёт эллипс, параболу, левую ветвь гиперболы, когда полюс находится в левом фокусе, и правую её ветвь, когда фокус находится в правом фокусе.
Если рассматриваемая кривая - это эллипс, то и из (1) видно, что .
Если рассматриваемая кривая - парабола, то и .
В случае же, когда рассматривается одна из ветвей гиперболы, причём полюс находится в соответствующем фокусе, то для нахождения требуется решить неравенство , или , откуда находим . Таким образом, для одной из ветвей гиперболы
.
Это означает, что любой луч, выпущенный из фокуса эллипса, пересекает этот эллипс; единственный луч, выпущенный из фокуса параболы и не пересекающий её - это полярная ось; а лучи, выпущенные из фокуса гиперболы и не пересекающие соответствующую её ветвь, образуют целый угол.
Упражнение. Покажите, что полярное уравнение ветви гиперболы в том случае, когда полюс лежит в её противоположном фокусе, выглядит так:
.

§ 6. Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе

Во-первых, вспомним, что уравнение касательной к графику функции в точке выглядит так:
. (1)
Пусть задано некоторое уравнение
. (2)
Если существует единственное число такое, что , то говорят, что уравнение (2) на промежутке задаёт некоторую функцию . Такой способ задания функции называется неявным. Подробно теорию неявных функций вы будете изучать в курсе математического анализа. В частности, вам докажут правило, что для дифференцирования функции, заданной неявно, достаточно продифференцировать равенство, её задающее, считая переменную зависящей от переменной .
Составим уравнение касательной к гиперболе
. (3)
в точке . Уравнение (3) неявно задаёт две непрерывные функции: одну при , а вторую при . Для нахождения производной дифференцируем равенство (3):
,
откуда при находим
.
Тогда . Используя (1), запишем уравнение касательной к гиперболе (3) в точке :
.
Умножив это уравнение на и разделив его на , получим уравнение:
,
которое равносильно следующему:
.
В силу того, что точка принадлежит гиперболе (3), уравнение касательной приобретает конечный вид:
. (4)
Замечание. Уравнение (4) получено при условии, что , т.е. во всех точках гиперболы, за исключением её вершин. Если же , то , из (4) следует, что или , что совпадает с уравнением касательной к гиперболе в её вершине. Таким образом, несмотря на то, что уравнение касательной к гиперболе в некоторой её точке выводилось при условии, что эта точка не является вершиной, окончательное уравнение (4) подходит и для вершины тоже.
Таким же образом составим и уравнение касательной к параболе
. (5)
(5)
[(1)]
[точка принадлежит параболе (5)]
. (6)
Замечание. Если , то и - это вершина параболы. При из (6) получаем . Это уравнение оси , которая и является касательной к параболе в её вершине. Таким образом, и в этом случае, полученное уравнение (6) задаёт касательную к параболе во всех её точках, несмотря на то, что выводилось оно при условии .
Упражнение. Покажите, что уравнение касательной к эллипсу
в точке имеет вид:
.

§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

Теорема. Лучи света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой его фокус (рис. 1).
Лучи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от неё,
образуют пучок лучей, параллельных оси параболы (рис. 2).
Лучи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы, кажутся выходящими из другого её фокуса (рис. 3).
►Для гиперболы. Покажем, что нормаль к гиперболе, проведенная в точке образует одинаковые углы с лучом, выходящим из правого фокуса, и с лучом, кажущимся выходящим из левого фокуса.
Обозначим (рис. 4). Согласно (4) § 6 . Кроме того, , поэтому
Рис. 4.

, .
Тогда:
, (1)
. (2)
Сравнивая (1) и (2) и учитывая, что оба угла и находятся в пределах от 0 до , получаем, что = .
Для параболы. Обозначим , (рис. 5). На основании (6) § 6 . Тогда и

, (5)
. (6)
Сравнивая (5) и (6), опять же получаем, что .
Для эллипса оптическое свойство доказывается точно так же, как и для гиперболы, поэтому вы это можете сделать самостоятельно в качестве упражнения. ◄

§ 8. Кривые второго порядка

Определения. Уравнением второй степени с двумя неизвестными называется уравнение вида
,
где .
Уравнение второй степени называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. не содержит произведения переменных ( при );
2. если содержит квадрат какой-либо переменной, то не содержит её первой степени ( => );
3. если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );
4. Если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.
Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.
Теорема. Для любой кривой второго 2-го порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задаётся каноническим уравнением.
Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании её мы перечислим всевозможные типы кривых второго порядка. Итак, получаем классификацию кривых второго порядка:

эллипс;
мнимый эллипс;
точка О(0; 0);
гипербола;
<=>
<=>
пара пересекающихся плоскостей;
парабола;
<=>
пара параллельных прямых;
сдвоенная прямая;
пара мнимых параллельных прямых.

Рубрика: лекции 1 курс

Прокомментировать