Аналитическая геометрия ч 4

Дата: 14 Июнь 2009 | Опубликовал: admin

ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек про-странства, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-ой степени.
Теорема. Для любой поверхности второго порядка в пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта по-верхность задается каноническим уравнением.
Эта теорема у нас также остаётся пока что без доказательства, но она позволяет классифицировать все поверхности второго порядка.

Классификация поверхностей 2-го порядка

- эллипсоид;
- мнимый эллипсоид;
- точка ;
- однополостный гиперболоид;
- двуполостный гиперболоид;
- конус 2-го порядка;
- эллиптический параболоид;
- эллиптический цилиндр;
- мнимый эллиптический цилиндр;
- ось Oz;
- гиперболический параболоид;
- гиперболический цилиндр;
или - пара пересекающихся плоскостей;
- параболический цилиндр;
или - пара параллельных плоскостей;
- сдвоенная плоскость;
- пара параллельных плоскостей

§1. Эллиптический, гиперболический и параболический
цилиндры

Пусть в пространстве заданы кривая и прямая a, пересекающая L. Поверхность, образованная при перемещении прямой а параллельно са-мой себе так, что, она все время пересекает кривую L, называется цилин-дрической. Прямые, которые получаются при перемещении прямой а на-зываются образующими этой цилиндрической поверхности, а кривая L – её направляющей.
Теорема. Уравнение
(1)
в пространстве задает цилиндрическую поверхность, образующие кото-рой параллельны оси , а уравнение направляющей, лежащей в плоско-сти , совпадает с уравнением (1).
►Обозначим L - множество точек плоскости, удовлетворяющих (1), а S – множество точек пространства, удовлетворяющих этому же уравнению. Тогда:
.
Итак, если , то поверхности S принадлежит вся прямая, проходящая через эту
Рис. 1 точку параллельно оси (рис. 1), что и доказы-вает, что S – цилиндрическая поверхность. ◄
Таким образом, уравнения , , задают цилиндрические поверхности, или цилиндры, с образующими, парал-лельными оси , а названия «гиперболический», «эллиптический», «параболический» они получили по названию своей направляющей. Ги-перболический, эллиптический и параболический цилиндры изображены соответственно на рисунках 2, 3 и 4.

Рис. 2

Рис. 3. Рис. 4.

§2. Конус второго порядка

Конусом второго порядка мы назвали поверхность, которая задаётся каноническим уравнением
. (1)
Из этого уравнения видно, что конус проходит через начало коорди-нат; симметричен относительно всех координатных осей, координатных плоскостей и относительно начала координат.
Теорема. Если точка , не совпадающая с началом коор-динат, принадлежит конусу (1), то и вся прямая , проходящая через эту точку и начало координат, принадлежит этому конусу.
►В качестве направляющего вектора прямой возьмём вектор , тогда её уравнение будет выглядеть так:
.
Таким образом,
.
Итак, конус второго порядка состоит из прямых, проходящих через начало координат.◄
Дальнейшее исследование всех поверхностей будем проводить мето-дом параллельных сечений, который состоит в следующем: пересекаем поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и по виду линий, получающихся в сечениях, делаем вывод о форме по-верхности.
Пусть задана поверхность уравнением , пересечем ее плоскостью . Линия пересечения задаются системой:
,
которая равносильна следующей:
. (2)
Так как в системе (2) первое уравнение – уравнение цилиндрической по-верхности с образующими, параллельными оси , то мы просто линию пересечения заданной поверхности плоскостью заменили линией пересечения той же плоскостью цилиндрической поверхности. Если эту цилиндрическую поверхность пересечь плоскостями, параллельными плоскости , то в сечениях будут получаться линии, одинаковые по форме. В частности, такую же форму, как и все линии пересечения, будет иметь кривая, лежащая в плоскости , которая является их проекцией на плоскость (рис. 1). Уравнение же последней кривой, т.е. направляющей цилиндрической поверхности, совпадает с уравнением . Таким образом, чтобы получить уравнение проекции на плоскость линии пересечения некоторой поверхности плоскостью следует из системы, задающей эту линию пересечения, исключить (это же справедливо и для проекции линии пересечения двух произвольных поверхностей).
Возвращаясь к исследованию формы конуса (1), пересечем его плос-костью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:
. (3)
При уравнение (3) задаёт точку - начало координат, т.е. плоскость пересекает конус в одной только точке – в его вершине. Если , то, разделив (3) на правую часть, получаем уравнение
,
которое задаёт эллипс с полуосями
. (4)
Рис. 2. Если растет, то полуоси увеличиваются, т.е. конус со-стоит из расширяющихся эллипсов. Внешний вид конуса изображен на рис. 2. При конус называется конусом вращения или прямым кру-говым конусом.
При пересечении конуса плоскостью в сечении можно получить не только эллипс, но также гиперболу и даже параболу, поэтому эти кривые называются коническими сечениями.

§3. Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая за-даётся каноническим уравнением:
. (1)
Так же, как и конус второго порядка, эта поверхность симметрична отно-сительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и от-носительно начала координат, но, в отличие от конуса, через начало ко-ординат не проходит. Пересекая её плоскостью , получаем кривую с уравнением
,
которое после преобразований принимает вид
и задаёт эллипс с полуосями:
. (2)
Таким образом, как и конус второго порядка, однополостный гиперболо-ид состоит из расширяющихся эллипсов. Самый малый эллипс получаем при . Он называется горловым эллипсом.
Сравнивая (2) и (4) §2, видим, что и . Таким образом, если однополостный гиперболоид (1) и конус второго порядка
(3)
пересечь одной и той же плоскостью , то эллипс для конуса нахо-дится внутри эллипса для гиперболоида, значит конус (3) лежит внутри гиперболоида (1). Кроме того,

. Аналогично получаем, что , т.е. при неограниченном удалении от плоскости однополостный гиперболоид (1) бесконечно близко приближается к конусу (3), который поэтому называется его асимптоти-ческим конусом.
Пересекая однополостный гиперболоид (1) плоскостью в сече-нии получаем гиперболу
Рис. 1 с действительной осью - осью . При пе-ресечении же его плоскостью , получаем гиперболу с действительной осью – осью . Однополостный гиперболоид изобра-жен на рис. 1. При он называется однополостным гиперболоидом вращения.

§4. Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная ка-ноническим уравнением
. (1)
Так же, как и конус второго порядка и однополостный гиперболоид, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но опять же, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая её плоскостью получаем кривую с уравнением

. (2)
Из (2) видно, что при плоскость не пересекается с двуполостным гиперболоидом (1), каждая из плоскостей и пересекает двуполостный гиперболоид в одной точке. Эти точки и называются вершинами двуполостного ги-перболоида. Если же , то линией пересечения является эллипс
с полуосями
Рис. 1 . (3)
Наряду с гиперболоидом (1) опять же рассмотрим конус
. (4)
Пересекая гиперболоид (1) и конус (4) одной и той же плоскостью и сравнивая (3) и (4) §2, делаем вывод: и , т.е. двуполостный гиперболоид (1) лежит внутри конуса (4). Так же, как и в §3, получаем:
и ,
откуда видно, что при неограниченном удалении от плоскости дву-полостный гиперболоид (1), так же как и однополостный, бесконечно близко приближается к конусу (4) (только уже изнутри), который также называется его асимптотическим конусом.
Пересекая гиперболоид (1) плоскостью , в сечении получаем ги-перболу , а пересекая его плоскостью - гиперболу . Для обеих этих гипербол действительной является ось .
Двуполостный гиперболоид изображён на рис. 1.

§ 5. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная канониче-ским уравнением
. (1)
Эллиптический параболоид симметричен относительно координат-ных плоскостей и , а относительно плоскости симметрии не имеет. Если его пересечь плоскостью , то увидим, что при плоскость не пересекается с эллиптическим параболоидом, при в сечении получается единственная точка – начало координат, ко-торая называется вершиной эллиптического параболоида (1), а при линией пересечения является эллипс с полуосями . Таким образом, и эллиптический параболоид состоит из расширяющихся эллипсов.
Пересечём теперь эту поверхность плоскостью . В сечении по-лучаем кривую, заданную уравнением
,
которое после преобразований принимает вид:
. (2) Из (2) видно, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность эллиптического параболоида по параболам, имеющим

одинаковые фокальные параметры (т.е., по конгруэнтным параболам), ветви которых направлены в сторону положительного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость . То же самое име-ем и при пересечении плоскостями . Уравнения линий пересечения записываются так:
,
а при проектировании их на плоскость получаем картинку, изобра-жённую на рис. 2. Сам же эллиптический параболоид изображён на рис. 3. При эллиптический параболоид называется параболоидом вращения.

§ 6. Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, канониче-ское уравнение которой выглядит так:
.
Гиперболический параболоид, так же, как и эллиптический, симмет-ричен относительно координатных плоскостей и , а относитель-но плоскости не имеет симметрии.
Пересечём эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:
.
Из него мы видим, что плоскости, параллельные плоскости , пересе-кают поверхность гиперболического параболоида по параболам, имею-щим одинаковые фокальные параметры (т.е., по конгруэнтным парабо-лам), их ветви направлены в сторону отрицательного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость . Если же пересечь гиперболический параболоид плоскостями , то в сечениях получаем кривые
,
т.е. опять конгруэнтные параболы, но их ветви направлены в сторону по-ложительного направления оси , а с ростом вершина параболы смещается вниз. При проектировании их на плоскость получаем
картинку, изображённую на рис. 2.

Теперь пересечём гиперболический параболоид плоскостью . В сечении получается кривая, заданная уравнением
. (1)
При это уравнение задаёт пару пересекающихся прямых
. (2)
Если , то плоскость пересекает гиперболический параболоид по гиперболам
,
асимптотами которых являются прямые (2), действительной осью – ось , причём с ростом вершины этих гипербол удаляются от центра (от оси ). Если же
, то уравнение (1) задаёт гиперболы
с теми же самыми асимптотами, но с осью в качестве действитель-ной. Проекции линий пересечения гиперболического параболоида плося-костями на плоскость изображены на рис. 3, а сам гиперболи-ческий параболоид - на рис. 4. Эта поверхность напоминает седло, часто её так и называют.

§ 7. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, заданная каноническим урав-нением . Пересекая его координатными плоскостями, ка-ждый раз в сечении получаем эллипсы с различными полуосями. Эллип-соид изображён на рис. 1, по внешнему виду он напоминает яйцо. При эллипсоид называется эллипсоидом вращения, а при - это просто сфера.

Рубрика: лекции 1 курс

Прокомментировать