Аналитическая Геометрия ч 1

Дата: 6 Июнь 2009 | Опубликовал: admin

ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Векторы и линейные операции над ними

Понятие вектора

Связанным вектором называется направленный отрезок. Связанный век-тор характеризуется длиной, направлением и точкой приложения. Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к упругому телу.
Направленные отрезки называются эквивалентными, если они имеют одинаковые длины и направления.
Скользящим вектором называется множество эквивалентных направ-ленных отрезков, расположенных на одной прямой. Скользящий вектор ха-рактеризуется длиной, направлением, и точкой приложения, которая пере-мещается вдоль заданной прямой. В качестве примера можно взять силу, приложенную к абсолютно твердому телу.
Свободным вектором, соответствующим направленному отрезку , на-зывается множество всех направленных отрезков, эквивалентных (рис 1). Свободный вектор характеризуется только длиной и направлением (приме-ром может служить угловая скорость). Каждый направленный отрезок, при-
Рис. 1. надлежащий данному свободному вектору, называется его представителем.
Свободные векторы называются коллинеарными, если их представители параллельны одной и той же прямой.
Свободные векторы называются компланарными, если их представители параллельны одной и той же плоскости.
Нулевым называется свободный вектор, у каждого представителя которо-го начало совпадает с концом.
Длиной свободного вектора называется длина любого из его представите-лей.
Углом между свободными векторами называется угол между его предста-вителями, отложенными от одной точки.

Сложение векторов

Определение. Пусть заданы векторы . Выберем в пространстве произ-вольную точку О и отложим от неё вектор . Получим вектор
. От точки А отложим вектор . Получим вектор . Свободный вектор, представителем которого является , называется суммой сво-
бодных векторов и (рис. 2).
Рис. 2
Упражнение. Докажите корректность определения, т.е. докажите, что ре-зультат не зависит от выбора точки О.

Свойства операции сложения

1. (коммутативность);
2. (ассоциативность);
3. ;
4. .
Эти свойства вам известны ещё со школы, поэтому на их доказательстве мы останавливаться не будем.

Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1. ;
2. , .
Заметим, что в случае, когда , , значит .

Свойства операции умножения вектора на число

1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Эти свойства мы также не доказываем, т.к. и они вам известны со школы.

Критерии коллинеарности и компланарности

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было выразить через другой, т.е., чтобы существовало число такое, что , или существовало бы число такое, что . При этом, если один вектор ненулевой, то второй можно через него выразить.
►Достаточность. Дано: . Тогда согласно определению про-изведения вектора на число.
Необходимость. Дано: . Рассмотрим два случая:
1. Один из векторов нулевой, например, . Тогда , т.е. .
2. Оба вектора ненулевые. Положим
.
Тогда . Кроме того,
(рис. 3); (рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Таким образом, векторы и имеют одинаковые длину и направление, значит, они совпадают.
Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора бы-ли компланарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно бы-ло представить в виде линейной комбинации двух других. При этом, если два из векторов неколлинеарные, то третий можно через них выразить.
►Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в иде ли-нейной комбинации двух других, например . Возможны два слу-чая.
а) - компланарные}.
б) Векторы и неколлинеарные. Доказательство вытекает из того, что треугольник - плоская фигура (см. рис. 5).
Необходимость. Дано: - компланар-
Рис. 5. ные.
а) ;
б) и - неколлинеарные. Тогда (см. рис 6):
, (1)
, (2)
, (3)
(1), (2), (3) .◄
Рис. 6.

§ 2. Аффинная система координат

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.
Теорема. Если на прямой задан базис , то для любого вектора на этой прямой существует число такое, что .
Доказательство вытекает из теоремы 1 §1.
Определение. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара не-коллинеарных векторов, принадлежащих этой плоскости.
Теорема. Если на плоскости задан базис , то для любого вектора на этой плоскости существует упорядоченная пара чисел такая, что .
Доказательство вытекает из теоремы 2 §1.
Определение. Базисом в пространстве называется упорядоченная трой-ка некомпланарных векторов.
Теорема. Если в пространстве задан базис
, (1)
то для любого вектора существует упорядоченная тройка чисел такая, что
. (2)
Равенство (2) называется разложением вектора по базису (1), а коэффици-енты разложения - координатами вектора в базисе (1).
►Обозначим плоскость, проходящую
через точку О параллельно векторам и
и проведем прямую, параллельную вектору
, а точку пересечения её с плоскостью
обозначим (см. рис. 1). Тогда
, (3)
Рис.1.
- компланарны, и неколлинеарны} [Т-2 §1]
, (4)
[Т-1 §1] { }. (5)
Теперь равенство (2) вытекает из равенств (3), (4), и (5).◄

Свойства координат векторов

1. Координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.
2. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
3. При сложении векторов их соответствующие координаты складывают-ся.
4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
5. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линей-ным комбинациям соответствующих координат слагаемых.
Определение. Системой координат называется совокупность точки О, являющейся началом координат, и базиса.
Если в пространстве задана система координат , то каждой точке можно поставить в соответствие вектор , который называется её радиус-вектором.
Координатами точки в выбранной системе координат называются координаты её радиус-вектора в соответствующем базисе.
Рис. 2. Если при откладывании некоторого вектора от точки
получаем точку (рис. 2), это будем записывать следующим равенством:
. (6)
Так как и т.к. координаты точки совпадают с координатами её радиус-вектора, то из (6) получается правило: чтобы найти координаты конца вектора следует к координатам вектора прибавить соответствующие координаты его начала.
Введенная система координат называется аффинной. Если базисные век-торы попарно ортогональны, а длины их равны единице, то система коорди-нат называется ортонормированной. Базисные вектора правой ортонорми-рованной системы координат будем обозначать (так же, как и в школе).

§ 3. Скалярное произведение

Определение. Скалярным произведением векторов и называется чис-ло .

Некоторые свойства скалярного произведения

1. .
2. .
3. .
►Положим . Тогда .◄
4. .
► .◄
5. Пусть заданы два вектора и , причем .

Рис.1. Рис. 2
Геометрической (векторной) проекцией вектора на вектор называ-ется вектор (см. рис. 1).
Алгебраической проекцией вектора на называется число
.
Если - острый угол, то (рис. 1):
,
если же - тупой, то (рис. 2):
.
Таким образом, в любом случае .

Запишем ещё две известные вам со школы формулы. Если в пространстве задан ортонормированный базис и заданы два вектора и своими координатами, то
-
выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых век-торов в ортонормированном базисе,
-
вычисление длины вектора в ортонормированном базисе

§4. Векторное произведение

Ориентация тройки векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называет-
ся правой, если, глядя с конца третьего век-
тора на плоскость первых двух, мы видим
поворот от первого вектора ко второму по
кратчайшему пути совершающимся против
часовой стрелки. В противном случае трой-
. ка называется левой. Так, на рис. 1 тройка
является левой.

Рис. 1.

Свойства ориентации

1. { - правая} { - левая}.
2. { - правая} { - левая}.
3. { - правая} { - правая}.
Перестановка упорядоченного множества называется циклической, если ка-ждый его элемент ставится на место предыдущего (или последующего).
Определение векторного произведения. Векторным произведением векто-ров и , взятых в указанном порядке, называется вектор, который обознача-ется и удовлетворяет следующим условиям:
1. .
2. .
3. - правая тройка.

Свойства векторного произведения

1. (критерий коллинеарности).
► .◄
2. - антикоммутативность;
►а) .
б) . Кроме того, если , то существует плоскость P такая, что , поэтому , а значит, и . Итак, . Остаётся убедиться в сонаправленности этих векторов.
{ -правая} левая} правая}
.
Таким образом, длины и направления векторов и совпадают, значит .◄
3. , .
4.
Эти два свойства мы докажем в § 5.
5. Линейные комбинации векторов векторно умножаются по правилу ум-ножения многочленов. При этом не следует забывать, что сомножитель из первой скобки обязательно должен быть на первом месте.
Это свойство является следствием 3-го и 4-го.
Пример. ▼
.▲
6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки.
7. Физический смысл векторного произведения. Моментом силы , приложенной к точке
А, относительно точки О называется вектор
Рис. 2 (рис. 2).

Выражение векторного произведения через координаты перемно-жаемых векторов в ортонормированном базисе

Сначала составим таблицу векторного умножения базисных векторов. Векторы первого столбца будем считать первыми сомножителями, а векторы верхней строчки - вторыми. Согласно критерию коллинеарности . Очевидно, , . Кроме того, т.к. тройка векторов - правая, то .
Пусть теперь заданы два вектора и своими координатами в базисе . Тогда
. (1)
Для облегчения запоминания этой формулы введем понятие определителя (подробно теория определителей будет изучаться в линейной алгебре).
Определитель второго порядка записывается в виде таблицы, ограни-ченной вертикальной чертой с обеих сторон, и вычисляется следующим об-разом:
Здесь первый индекс обозначает номер строки, а второй - номер столбца.
Определитель третьего порядка вычисляется так:
.
Теперь из (1) получаем:
.
Это и есть та формула, которую вы должны запомнить.

§5.Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением векторов , взятых в ука-занном порядке, называется число .

Свойства смешанного произведения

1. Критерий компланарности. Для того чтобы три вектора были ком-планарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
►Необходимость. Дано: -компланарны. Тогда
{существует плоскость P, что .
Достаточность. Дано: . Рассмотрим два случая:
а) ;
б)
плоскость
.◄
2. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объёму V параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов - правая и минус, если - левая.

Рис. 1.
(1)

Заметим, что на рис. 1 тройка - левая◄
3. .
►Если векторы - компланарны, то утверждение истинно согласно первому свойству. Если же они некомпланарны, то:
(2)
Так как ориентации троек и совпадают, то из (1) и (2) вытека-ет доказываемое утверждение. ◄
На основании этого свойства мы делаем вывод, что не имеет значения, в каком месте ставить «крестик», а в каком «точку». Поэтому в смешанном произведении эти знаки не ставятся вообще, и оно обозначается так: .
4. .
►Первые три смешанных произведения равны т.к. тройки одинаково ориентированы, а в последней тройке ориентация меняется, поэтому сме-шанное произведение меняет знак. ◄
5. , , .
►Докажем, к примеру, второе равенство:
.◄
6. .
Доказывается так же, как и предыдущее.

Выражение смешанного произведения через координаты перемножае-мых векторов в ортонормированном базисе

Пусть заданы три вектора своими координатами в ортонормированном базисе: . Тогда
;

.

Доказательство третьего и четвертого свойств векторного
произведения

Итак, докажем равенство:
. (3)
►Выберем произвольный вектор . Тогда
. (4)
Так как (4) справедливо для любого вектора , то, на основании свойств ска-лярного произведения, из (4) вытекает (3).
Остальные равенства доказываются аналогично.◄

§ 6. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением называется произведе-ние или .
Теорема. Для любых векторов справедливы равенства:
, (1)
.
►Докажем, например, первое из них. Пусть заданы три произвольных вектора . Построим правый ортонормированный базис следующим об-разом: в качестве вектора возьмём единичный вектор, коллинеарный , вектор выберем перпендикулярным вектору и так, чтобы были компланарными, и положим . В этом базисе . Тогда ;
; (2)
. (3)
Сравнивая (2) и (3), получаем (1).
Ещё раз подчеркнём, что исходные векторы выбираются произвольным образом, а ортонормированный базис уже подбирается для них. ◄

Рубрика: лекции 1 курс

Прокомментировать